4.4 Solving Binomial Problems - 解决二项式问题

示例1：求特定项的系数

题目：

a) 在 \((2+3x)^{10}\) 的二项式展开中，求 \(x^4\) 的系数。

b) 在 \((2+x)(3-2x)^7\) 的二项式展开中，求 \(x^3\) 的系数。

解答：

a) 使用通项公式。幂次是10，所以 \(n = 10\)，需要求 \(x^4\) 项，所以 \(r = 4\)。

\(x^4\) 项 = \(\binom{10}{4}2^6(3x)^4 = \binom{10}{4} \times 64 \times 81x^4\)

\(\binom{10}{4} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{3628800}{24 \times 720} = \frac{3628800}{17280} = 210\)

因此 \(x^4\) 的系数 = \(210 \times 64 \times 81 = 1088640\)

b) 首先求 \((3-2x)^7\) 的前四项：

\((3-2x)^7 = 3^7 + \binom{7}{1}3^6(-2x) + \binom{7}{2}3^5(-2x)^2 + \binom{7}{3}3^4(-2x)^3 + \cdots\)

\(= 2187 - 10206x + 20412x^2 - 22680x^3 + \cdots\)

现在展开 \((2+x)(3-2x)^7\)：

\(x^3\) 项 = \(2 \times (-22680x^3) + x \times 20412x^2 = -45360x^3 + 20412x^3 = -24948x^3\)

因此 \(x^3\) 的系数是 -24948

示例2：求未知常数

题目：设 \(g(x) = (1+kx)^{10}\)，其中 \(k\) 是常数。已知 \(g(x)\) 的二项式展开中 \(x^3\) 的系数是15，求 \(k\) 的值。

解答：

\(x^3\) 项 = \(\binom{10}{3}1^7(kx)^3 = \binom{10}{3}k^3x^3 = 15x^3\)

\(\binom{10}{3} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{3628800}{6 \times 5040} = \frac{3628800}{30240} = 120\)

因此 \(120k^3 = 15\)

\(k^3 = \frac{15}{120} = \frac{1}{8}\)

\(k = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}\)

示例3：复杂问题

题目：

a) 写出 \((1+qx)^8\) 的前三项，按 \(x\) 的升幂排列，其中 \(q\) 是非零常数。

b) 已知在 \((1+qx)^8\) 的展开中，\(x\) 的系数是 \(-r\)，\(x^2\) 的系数是 \(7r\)，求 \(q\) 和 \(r\) 的值。

解答：

a) \((1+qx)^8 = 1^8 + \binom{8}{1}1^7(qx) + \binom{8}{2}1^6(qx)^2 + \cdots\)

\(= 1 + 8qx + 28q^2x^2 + \cdots\)

b) 根据题意：\(8q = -r\) 和 \(28q^2 = 7r\)

从第二个方程：\(r = 4q^2\)

代入第一个方程：\(8q = -4q^2\)

\(4q^2 + 8q = 0\)

\(4q(q + 2) = 0\)

因为 \(q\) 是非零常数，所以 \(q = -2\)

因此 \(r = 4(-2)^2 = 16\)

示例4：求多个未知数

题目：在 \((2+ax)^6\) 的展开中，\(x^2\) 的系数是60。求常数 \(a\) 的两个可能值。

解答：

\(x^2\) 项 = \(\binom{6}{2}2^4(ax)^2 = \binom{6}{2} \times 16 \times a^2x^2\)

\(\binom{6}{2} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{720}{2 \times 24} = \frac{720}{48} = 15\)

因此 \(15 \times 16 \times a^2 = 60\)

\(240a^2 = 60\)

\(a^2 = \frac{60}{240} = \frac{1}{4}\)

\(a = \pm\frac{1}{2}\)

因此 \(a\) 的两个可能值是 \(\frac{1}{2}\) 和 \(-\frac{1}{2}\)